请教一个线性代数特征向量的问题。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 22:35:12
我不是学数学的，我在看线性代数特征值和特征向量的那部分时候，有几个问题，我迷惑不解。我知道，这两个问题，对经济管理类的不是专门学数学的人来说，不要求掌握，我只是感兴趣，请高手给我讲解一下。我在此提前谢谢诸位了。问题如下：
1，对于一个一般的矩阵来说，在相似对角化的过程中，在求出了特征值之后，只需要弄出个对应于特征值的逆矩阵P 来说，就可以了。即使是r个特征值，只要找到r个线性无关的特征向量，也不需要施密特正交化，只需要把他们对应的堆彻到一块，就一定可以让这个矩阵，通过相似运算，相似于一个对角矩阵。一个矩阵作相似对角化后，样子已经很漂亮了，运算也方便了。
可是，到了对陈阵，情况又变了，如果遇到r重特征值的，求到r个基础解系中的特征向量，还要作诗密特正交化，让后再单位化，非要弄出个正交矩阵来。这不是多此一举吗。我认为，可以相似对角化，不就完了吗，为什么非要用正交矩阵来对角化。难道这样的方法获得的对角矩阵，有什么优良的性质？？？
2，一个对称矩阵，为什么一定可以用一个正交 矩阵来对角化？我知道，对阵阵的特征值全是实数。不同的特征值对应的特征向量正交。那么，如果碰到r重特征值，针对一个对陈阵而言，为什么一定可以找到r个线性无关的特征向量？
最后，再次感谢大家！！！！！！！！！！！！

第一个问题：
不同的特征值所对应的特征向量是正交的，记住，它是自然正交的，不需要作任何的变换

但是，当出现重根后，出现的特征向量就不一定是正交的了。所以，必须通过施密特正交化化法，然后单位化。

只是求的r个线性无关的特征向量，在普通的矩阵对角化上足够了。

这样的目的是使用在二次型上
当我们需要对一个多项式，求其二次型标准型时，必须要使得，任何两个特征向量是正交的，即化为合同矩阵。

首先，对于第一个问题，对称矩阵的对角化时，如果有一个r重根，那么其对应的特征向量就有r个，因此，这个n维方阵必然能对角化，你问的问题我了解，其实是对陈阵可以由正交矩阵对其对角化，但不用正交矩阵也可以，利用正交矩阵对角化也没有什么优良性质，课本里面，题目上这么要求只是让你会使用施密特正交化（PS:我其实从来不用施密特正交化法做，因为公示比较复杂，对于具体的矩阵我用待定系数法求解）
其次，对于第二个问题，证明比较复杂，我只知道一个矩阵的代数重根数大于等于其几何重根数，当该矩阵是对称阵时，二者相等，至于证明我也没有什么好的办法。。。

1因为对角化是不唯一的，用对于实际问题比如说物理应用或转换坐标正交化只能用施密特正交化，所以必须要知道正交矩阵。其他方法是不行的。但如果你只是算题就应该无所谓了。