高考数学问题:圆锥的底面半径为3cm,母线间的最大角是60度

先解决一个共性的问题：正三角形的边长a与内切圆半径r的关系：a=(2√3)r;
1.过顶点与底面圆心的截面为一个正三角形（因为取得母线间的最大角60度），底面半径为3，所以截面边长为a=3*2=6，内切球半径r=a/(2√3)=6/(2√3)=√3
,内切球的表面积=4π*r²=12π

2.正三棱柱有一个半径为√3的内切球,过内切球球心作水平截面,截面为一个正三角形,内切圆半径r=√3,底面面积=3√3r²,高=2r,所以正三棱柱体积=6√3r³=54

3.木球要尽量的大,最大的是内切球,底面边长a=12cm,所以内切球半径r=12/(2√3)=2√3,每个球需要的木材长度=4√3,每根木材最多可加工成200/(4√3)≈28.86,如果每个球要用完整的木材制作,不允许拼接,则每根木材可加工28个木球,需木材1000/28≈35.71,即36根.