凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠

正命题已证，逆命题还需要琢磨一下

一、ABCD是圆的内接四边形 => AP=CP
取ABCD的外接圆圆心O
1) 如果O和P重合，那么AP=CP自然成立
2) 如果O和P不重合，那么B、D、P、O这四点按照顺时针或逆时针有两种顺序，BOPD或者BPOD
a) 假设是BOPD，根据∠BOD=∠BPD=2∠BCD可知BOPD四点共圆，从而∠DOP=∠DBP=∠DBC-∠PBC=∠DBC-∠ABD=(1/2)(∠DOC-∠AOD)。这样∠AOP=∠AOD+∠DOP=(1/2)(∠DOC+∠AOD)，∠COP=∠COD-∠DOP=(1/2)(∠DOC+∠AOD)，从而∠AOP=∠COP。根据SAS证明△AOP≌△COP，于是AP=CP
b) BPOD同样证明

二、AP=CP => ABCD是圆的内接四边形
待证

没图

补充，只要把多出来的部分补充出来就可以了