20分 不等式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 12:34:38
求实数M的取值范围，使得不等式‖1-abM‖大于‖Ma-b‖对满足‖a‖小于1，‖b‖小于1的一切实数a,b恒成立。

解：根据题意，可以对不等式两边平方则有
1-2abM+a^2*b^2*M^2>a^2*M^2-2abM+b^2
整理得：1+a^2*b^2*M^2>a^2*M^2+b^2
移项可解得：M^2<1/(a^2+b^2+a^2*b^2)
要使得不等式等成立，则须M小于右边的最小值
求1/(a^2+b^2+a^2*b^2)得最小值，则须求(a^2+b^2+a^2*b^2)得最大值，
又不等式性质可知其最大值为a^2+b^2+（a^4+b^4/2=3
故M<根号3/3