求解一道线性代数正规直交基的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 13:36:33
3次元空间R3的基(basis)a1,a2,a3存在，试写出正规直交基(orthonormal basis)n1,n2,n3,其中，a,b的内积为ab，||a||=根号下aa
并且n=a1/||a1||
ps:我发了很多数学题，不止是想求大家给个答案，我想知道大家遇到各类题目时候的思考过程和顺序，比如见到这类题第一步怎么想，怎么考虑，为什么这么考虑，能大概讲解一下思路那麽我想比单纯给个答案要好，授人以鱼不如授人以渔，我想这样也会方便其他很多看帖子的朋友们。

这个普遍做法是利用施密特正交化法则，先对其正交化，再单位化，但是有一个问题，该方法过程繁杂，公式难记，易出错，除非万不得已，我一般是不用这种方法的，具体有两种：
一：就是给了一到具体的题目，给了一个对称矩阵A，让你求一个正交阵P，使得P'*A*P=B（B是对角阵），对于这种问题，只要把相同的特征值对应的特征向量正交化即可，具体一点说，一个3维矩阵，特征值2，2，3，你就先把3对应的特征向量a1写出来，再把2对应的随便写一个，例如a2，再设另一个向量是a3：（a，b，c），那么a3*a2=0，a3*a1=0，a3也是（A-2E）*x=0的解，如此求出来的向量组已经正交，再单位化就可以了
二：对于一般情况，有a1，a2，a3，设b1=a1，b2=a1+n*a2，b1*b2=0可得出b2，同理可以求出b3，这样也可以对角化
以上两种方法是我个人长期经验总结，可能不易理解，我也很难说得特别清楚，但是却比施密特正交化法来的简单，希望你可以体会一下