一道函数解答题

真数大于0，因为x^2+1>0
所以ax^2+8x+b>0恒成立
若a=0，则8x+b>0,此时不论b取何值都不保证恒大于0
所以a不等于0
则此时是二次函数
恒大于0所以开口向上，a>0
且和x轴没有交点，所以判别式小于0
所以64-4ab<0
ab>16

0<=f(x)<=2
所以log3(1)<=f(x)<=log3(3^2)
所以1<=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9
令y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)
则1<=y<=9
yx^2+y=ax^2+8x+b
(y-a)x^2-8x+(y-b)=0
这个关于x的方程有解所以判别式大于等于0
64-4(y-a)(y-b)>=0
(y-a)(y-b)-16<=0
则这个不等式的解是1<=y<=9
所以y=1和y=9是方程(y-a)(y-b)-16=0的两个解
y=1，(1-a)(1-b)-16=0,ab-a-b-15=0 (1)
y=9，(9-a)(9-b)-16=0,ab-9a-9b+65=0 (2)
相减
8a+8b=80
a+b=10
(1)*9-(2)
8ab=200
ab=25,符合ab>16
所以a和b是方程m^2-10m+25=0的两个跟
m1=m2=5
所以a=b=5

参考

解:
设f(x)=log3[(mx^2+8x+n)/(x^2+1)]

由于值域为[0,2]

所以:
0<=log3((mx^2+8x+n)/(x^2+1)) <=2

1<=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)<=9
由于x^2+1>0
则:
(1-m)x^2-8x-n+1&