递推数列的单调性

无关.

令a(n)表示数列的第 n 项，f(x)是这个数列的递推函数，
即：a(n+1)=f[a(n)],那么有以下几种情形：
(1) f(x) 递减，而{a(n)}无单调性,如：f(x)=1/x, 当x>0时，单调递减,
而{a(n)}={a(1),1/a(1),a(1),1/a(1)…………}
这个数列只是a(1)与1/a(1) 交替出现而已，不具备单调性

(2)f(x)递增，但{a(n)}递减,如：f(x)=x-1,当x属于R时，单调递增,
而a(2)=a(1)-1,a(3)=a(2)-1=a(1)-2,……
显然a(n)随着n的增大，越来越小

(3)f(x)递增，但{a(n)}递 增，如：f(x)=x+1，x属于R时，单调递增,
而a(2)=a(1)+1,a(3)=a(2)+1=a(1)=2,……
显然a(n)随着n的增大，越来越大

综 上：递推数列的单调性与递推函数的单调性没有关系,递 推函数描述的只是相邻两项的大小关系，而递推数列的单调性却是整个数列的单调性，全局不等于局部，反之亦然.

递推数列单调性要看对应函数的单调性。用导数可以判断函数的单调性。导数不等于零时函数单调，导数等于零时函数不单调。这点可以从导数的几何意义看出。函数对应的曲线在导数为零处切线与x轴平行。所以函数不单调。导数不为零处切线与x轴相交，所以函数单调。导数大于零时单调递增。导数小于零时单调递减。

且不说是 递推数列，即便是普通的函数，其单调性也与导数有关。

一般情况是，导数大于零，单调递增；导数小于零，单调递减。

具体情况还得根据导数等于零的点和导数不存在的点两侧导数的符号来判断。

最直观的做法是列表法。

记住，单调性的判断，一定是基于某个区间而言的。