函数的单调性问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 08:42:49
若函数y=-2x²+ax+1在区间（-∞，8）上单调递增，那么a的范围为（ ）
A a>32 B a≥32 C a<32 D a≤32
正确答案为B，要求详细过程

易见，函数在在区间[-∞，8]也单调递增。求导数得：y=-4x+a.由题意，-4x+a≥0 即a≤4x≤32

原函数化为y=-2(x-a/4)²+a²/8+1
而x²项系数小于0,函数图象开口向下,且最高点对应x坐标为a/4,即函数在x小于a/4处单调递增.所以若要函数在区间（-∞，8)上单调递增,只需a/4≥8,即为B项a≥32

这个函数是开口向下的抛物线，并且你应该能看出来，它在负无穷大到对称轴这一段是递增的，对称轴到正无穷大这一段是递减的。

而题目要这个对称轴在（-∞，8）上单调递增，因此这个（-∞，8）必在负无穷大到对称轴这个范围内。所以8要比对称轴这个值小，最多就是相等而已。
该函数的对称轴是x=a/4，因此8≤a/4，所以a≥32