函数f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)的最小值是9 （不要用万能公式！）

f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)=[1/sinx+t/(1-sinx)]*(sinx+1-sinx)
=1+t+(1-sinx)/sinx+tsinx/(1-sinx)
∵t为大于0的常数,0<x<90°
∴(1-sinx)/sinx>0,tsinx/(1-sinx)>0
∴f(x)=1+t+(1-sinx)/sinx+tsinx/(1-sinx)≥1+t+2√t=(1+√t)^2
当且仅当(1-sinx)/sinx=tsinx/(1-sinx)即sinx=1/(1+√t)时
f(x)取最小值(1+√t)^2=9
∴t=4

这用的均值不等式

∵0<x<90°
∴0<sinx<1
令u=sinx(0<u<1),g(u)=1/u+t/(1-u)
则g'(u)=-1/u^2+t/(1-u)^2=[(t-1)u^2+2u-1]/[u^2(1-u)^2]

a)当0<t<1时，g'(u)=[(√t+1)u-1][(√t-1)u+1]/[u^2(1-u)^2]
=(t-1)[u-1/(1+√t)][u-1/(1-√t)]/[u^2(1-u)^2],
其中t-1<0<1/(1+√t)<1<1/(1-√t).
故当u∈(0,1/(1+√t))时，g'(u)<0,g(u)递减；
当u∈(1/(1+√t)，1)时，g'(u)>0,g(u)递增.
故g(u)最小值为g(1/(1+√t))=(√t+1)^2=9,解得t=4，与当0<t<1矛盾，故舍去。

b)当t=1时，g'(u)=(2u-1)/[u^2(1-u)^2]
故当u∈(0,1/2)时，g'(u)<0,g(u)递减；
当u∈(1/2,1)时，g'(u)>0,g(u)递增.
故g(u)最小值为g(1/2)=2+2t=9,得t=7/2，与t=1矛