高一 数学 圆与方程 请详细解答,谢谢! (15 17:19:0)

已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴.y轴与A.B两点，O为原点，｜OA｜=a，｜OB｜=b（a大于2，b大于2）
⑴求证：（a-2）（b-2）=2
⑵求线段AB中点的轨迹方程
⑶求△AOB面积最小值
 

设切线方程为 y=kx+c
所以(1,1)距离直线距离=|1-k-c|/根(k^2+1)=1
所以c^2 +2kc-2k-2c=0
因为a>2,b>2,
所以直线和坐标轴都相交于正半轴
所以(a,0)和(0,b)都在直线上
所以ka+c=0, c=b
所以b^2 - 2b^2/a +2b/a -2b=0
所以ba-2b +2 -2a=0
即：(a-2)(b-2)=2

曲线C为圆: (x-1)^2+(y-1)^2 =1。圆心C(1,1),半径=1
直线L: x/a +y/b =1，若直线L与圆相切，则：
C(1,1)到直线L距离 =半径 =|1/a +1/b -1|/根号(1/a^2+1/b^2)
==> ab(ab-2a-2b-2)=0 ==> ab-2a-2b+2 =0
==> (a-2)(b-2)=2 ...(1)
线段AB中点P(X,Y), X=a/2,Y=b/2
==> (X-1)(Y-1)=1/2，(X,Y>1)。此即轨迹方程

因为中点坐标(a/2,b/2)，
所以中点轨迹方程: 4xy-4(x+y)+2=0
4xy-4x-4y+2=0
4x(y-1) -4(y-1)=2
(y-1)(x-1)=1/2
所以Saob=ab/2=2xy
0=4xy-4(x+y)+2 <=4xy-8根(xy)+2 =4(根xy -1)^2 -2
所以4(根xy-1)^2>=2
所以 根xy-1 >=根2/2 或者根xy-1<=-根2/2(舍去)
所以 Saob的最小值=3+2根2

第一问用勾股定理，不要怕2次方，会约去，第2问就更简单，“翻”条件就可以，第3问是函数最值问题，保证解析式只有一个未知数是关键，后面就简单啦。。。。

解:⑴设切线方程为 y=kx+c
∴⊙(1,1)到直线y=kx+c距离=|1-k-c|/√(Kˇ2+1)=1