好难的数学题（要过程和讲解）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 11:16:36
一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n+76块这样的地砖才能覆盖这块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n？？？？？？？？？？

方法一：

76=37+39

1^2+3=2^2
2^2+5=3^2
3^2+7=4^2
……
n^2+(2n+1)=(n+1)^2

所以
18^2+37+39=20^2

因此n为18*18=324

方法二：设方形地砖大的边长为A,小的边长为B,则有nA^2=(n+76)B^2

转化n/(n+76)=A^2/B^2

都是整数,所以设n=KA^2 n+76=KB^2

两个式子相减 76=KA^2-KB^2=K(A-B)(A+B)=4*19=2*2*19=2*38

由于A-B与A+B有相同奇偶性,所以另A-B=2 A+B=38

解得A=20 B=18

代入n/(n+76)=A^2/B^2

得n=81*4=324

设n=a^2 ,n+76=b^2
(a+b)(b-a)=76=2*2*19
因为b-a与b+a同奇偶,所以
b-a=2*1
b+a=2*19
b=20
a=18
那么
n=18^2=324

324