高等数学,,,极限

拜托楼上诸君认真点吧……

因为y=sinx/x是偶函数，所以我们只需讨论x由正值趋于0的情形就可以了。

做出单位圆，O为圆心，AB两点在圆上，D在OB连线上，且D在圆外。

设圆心角角AOB=x(0<x<π/2)

则三角形AOB的面积<扇形AOB<三角形AOD的面积

三角形AOB的面积=1/2*OB*AC=1/2*1*sinx

扇形AOB的面积=1/2*1^2*x

三角形AOD的面积=1/2*AO*AD=1/2*1*tanx

所以sinx<x<tanx

同时除以sinx

则1<x/sinx<1/cosx

即为cosx<sinx/x<1

而lim(x→0)(cosx)=lim(x→0)(1)=1

所以lim(x→0)(sinx/x)=1

我记得这个好像是高数公式的啊，极限是1

不会的话就用落必达法则，分子分母同时求导

代进去就是1

请注意 y=x 在原点与 y=sin x 相切.
这只是很直观的理解，证明有很多，可以用 Taylor 展式,可以在单位圆上完成直观的解释.
一个严格的办法是用 Taylor 展式。
你也可以试着了解 df 的严格定义，其中 f 可微.

sinx=x+x^3/3!+x^5/5!……x^(2k+1)/(2k+1)!
代入就是1

解:把它看为|im[Sin(0+x)-sin(0)/x][x趋近于0];想:把x看为一个增量,这个极限值就是函数siny在y=0上的导数,即该值=(sin0)'=cos0=1