已知（b-c)lgX+(c-a)lgY+(a-b)lgZ=0，若X,Y,Z成等比数列，公差不为1，求证a,b,c为等差数列。

设公比为q, Y=Xq,Z=Xqq
（b-c)lgX+(c-a)lgY+(a-b)lgZ=0
（b-c)lgX+(c-a)lg(Xq)+(a-b)lg(Xqq)=0
（b-c)lgX+(c-a)lgX+(c-a)lgq+(a-b)lgX+2(a-b)lgq=0
((b-c)+(c-a)+(a-b))lgX+((c-a)+2(a-b))lgq=0
(c+a-2b)lgq=0
∵q≠1，lgq≠0
∴c+a=2b
得证

（b-c)lgX+(c-a)lgY+(a-b)lgZ=0
lgX^(b-c)+lgY^(c-a)+lgZ^(a-b)=0
lg[X^(b-c)×Y^(c-a)×Z^(a-b)]=0
X^(b-c)×Y^(c-a)×Z^(a-b)=1
因为X,Y,Z成等比数列，不妨设：
X=k, Y=kq , Z=kq^2
代入上式得：
k^(b-c)×(kq)^(c-a)×(kq^2)^(a-b)=1
k^(b-c)×k^(c-a)×q^(c-a)×k^(a-b)×q^(2a-2b)=1
k^(b-c+c-a+a-b)×q^(c-a+2a-2b)=1
k^0×q^(a+c-2b)=1
q^(a+c-2b)=1
a+c-2b=0
a+c=2b
所以a,b,c为等差数列。