高书中有关证明的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 11:07:20
设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明必存在ζ∈(0,1)使f'(ζ)=1

怎么证明啊，最好详细点

f(0)=0,f(1/2)=1
又f(x)在[0,1]上连续，在(0，1)上可导
所以存在 f'(x1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)= 2 (拉格朗日中值定理)
同理，
f(1/2)=1,f(1)=0
又f(x)在[0,1]上连续，在(0，1)上可导
所以存在 f'(x2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2)= -2

又因为 f(x)在(0，1)上可导
所以 f'(x)在(0，1)连续
则有ζ∈(x1,x2),使得f'(ζ)∈( f'(x1),f'(x2) ）,

显然 1 满足条件 1 ∈( -2，2 ）,
所以必存在ζ∈(x1,x2)∈(0,1),使f'(ζ)=1