AB是圆O的直径，AE为弦，C为弧AE的中点，CD垂直AB于D，交AE于F，BC交AE于G，求证：AF=FG

本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中，前者通过两次三角形全等来证明，
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明：
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA，∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG

本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中，前者通过两次三角形全等来证明，
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明：
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA，∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG
证明：
连接AC
因为C是弧AE的中点
所以弧AC＝弧EC
所以∠CAE＝∠ABC
因为直径AB垂直平分弦CN
所以弧AC＝弧AN
所以∠ACN＝∠ABC
所以∠ACN＝∠CAE
所以AG＝CG
因为AB是直径
所以∠ACB＝90，即∠ACN＋∠BCN＝90
因为∠AGC＋∠CAE＝90
所以∠BCN＝∠AGC
所以FG＝CG
所以AF＝FG