数学竞赛，试卷上有50道题。。。

因为答对的三分是奇数，不答与答错均是奇数。因此当他们的配对个数为偶数个数时，其结果必为为偶数。这是第一种情况。而第二种情况则是出现一个或三个配对的情况，其结果必为奇数，而若是这种情况，则题数肯定为偶数个，故与题不符，则第一种情况是正确的，所以命题得证。

设答对的为X,不答的为Y,答错的为Z
因为有50道题,所以X,Y,Z的情况有两种:1.XYZ全为偶数2.XYZ中有两个奇数一个偶数.所以,总分S=X*3+Y*1+Z*(-1)在第一种情况下:S=X*3+(Y-Z)*1,因为都为偶数且,偶奇之积为偶数,偶偶之差为偶数,所以只要S为偶数,不管同学人数是偶或是奇,偶数之和都为偶数.
第二种情况:假设XY为奇数,Z为偶数,因为偶奇之差为奇数,奇奇之积为奇数,奇奇之和为偶数,所以S为偶数,所以不管同学人数为奇或是偶数,其总和都为偶数.

这是我的想法.