已知abc为正实数,a+b+c=1 求证a²+b²+c²≥1/3
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/29 22:57:21
∵(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 (1)
a^2+b^2>=2ab、(2)
a^2+c^2>=2ac、(3)
b^2+c^2>=2bc (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc ≥1+2ab+2ac+2bc
3a^2+3b^2+3c^2 ≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
因为 a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca
所以: 2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1 ≤a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)
所以a²+b²+c²≥1/3
(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)
=3(a2+b2+c2)
因为a+b+c=1,所以1≤3(a2+b2+c2)
所以a2+b2+c2≥1/3
第一种
直接:
3(a²+b²+c²)=(a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²)
=(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²)+(b²+c²))
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)
已知a,b,c为实数,且
已知a,b,c都是正实数,求证:::
已知a、b、c均为正实数,且b^2=ac,求证:a^4+b^4+c^4>(a^2-b^2+c^2)^2
abc为正实数,求证sqr(a^2+b^2)+sqr(b^2+c^2)+sqr(c^2+a^2)>=sqr(2)(a+b+c)
已知a,b,c为三角形ABC的三边,求证bx²+2(a-c)x-(a+b-c)=0有两个不相等实数根
已知a,b都为正实数,且a+b=1.
已知a,b,c为实数√2a+1 +(b-3)的平方+绝对值c-2=0 求三次根号abc/3的值
已知a,b,c属于正实数,互不相等且abc=1,证:根号a 根号b 根号c〈1/a 1/b 1/c
已知正三棱柱ABC—A’B’C’,各棱厂为a,D、E、F分别为AA’、BB’、B’C’的中点.
已知:实数A+B+C=2 ABC=4 求最大值和A+B+C的绝对值