超一流数学高手、数学教师请进(极限001)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/23 14:08:31
超一流数学高手、数学教师请进(极限001)
L'Hopital's Rule is simplest way for any people.
It's better to use other method to solve it.
L'Hopital's Rule is simplest way for any people.
It's better to use other method to solve it.
这个题目如果用高等数学的求导来解的话很简单。下面用中等数学的方法
[(1+αx)^(1/m)-(1+βx)^(1/n)]/x=
[(1+αx)^(1/m)-1]/x - [(1+βx)^(1/n)-1]/x=
α[(1+αx)^(1/m)-1]/[(1+αx)-1] - β[(1+βx)^(1/n)-1]/[(1+βx)-1]
利用x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^(n-1))这个公式有:
(1+αx)-1=[(1+αx)^(1/m)-1][1+(1+αx)^(1/m)+(1+αx)^(2/m)+...+(1+αx)^((m-1)/m)]
(1+βx)-1=[(1+βx)^(1/n)-1][1+(1+βx)^(1/n)+(1+βx)^(2/n)+...+(1+βx)^((n-1)/n)]
于是,当x->0时:
[(1+αx)^(1/m)-1]/[(1+αx)-1]=1/[1+(1+αx)^(1/m)+(1+αx)^(2/m)+...+(1+αx)^((m-1)/m)]->1/m
[(1+βx)^(1/n)-1]/[(1+βx)-1]=1/[1+(1+βx)^(1/n)+(1+βx)^(2/n)+...+(1+βx)^((n-1)/n)]->1/n
故原题的结果是α/m - β/n
对补充的回复:
中等解法,没用洛必达法则