求解均匀带电半球壳在球心处电场 等效的【错误】！？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 22:29:54
根据将半球壳(半径r)等效成均匀无限大带电平板 在运用高斯定理可得其在中心处场强为 E=σ/2ε。其中σ为半球壳电荷面密度σ=Q/2πr^2 ε为真空介电常数k=(4πε)^-1 则场强表达式又可化成 E=kQ/r^2 即又可等效为半球壳顶点一电量为Q的点电荷在中心处产生的场强。
若没有发现问题，接着看！
将等效后的Q微分成无限多个q，则场强为所有的q所产生的电场的矢量相加，由于是同向的，又为标量相加，结果仍然是E=kQ/r^2；但再将无限多个q均匀分布，恢复成原样，中心处场强仍然为各个q的电场矢量相加，但此时各场强已不是同方向，若矢量相加则会导致一部分对称的场强被抵消掉，因而小于E=kQ/r^2！我实在是想不明白，请高手指点！

半球壳和均匀无限大带电平板是不能等效的啊！说明如下：
设半球心为O，球顶为H，则与OH夹角为θ的半径OP对应的球面点P附近小面元dS在O产生的场强
σdS/4πεr^2
沿OH方向的分量为
σdScosθ/4πεr^2

而对于dS对应的从O点引出的立体角所对应的平板上的面积dA，有
dA=dS*[(r/cosθ)/r]^2/cosθ
其中[]内的是到O点的距离比的平方，而最后的/cosθ则是将垂直于OP的面积变换成平板上的面积。dA在O产生的场强
σdA/4πε(r/cosθ)^2=σdS*[(r/cosθ)/r]^2/[4πε(r/cosθ)^2*cosθ]
=σdS/[4πεr^2*cosθ]
沿OH方向的分量为
σdScosθ/[4πεr^2*cosθ]=σdS/4πεr^2

可见两结果相差一个cosθ系数，其关键就在于“将垂直于OP的面积变换成平板上的面积”的那个cosθ

另外补充一句，圆弧和线是可以等效的，但半球和无限大平面是不能直接等效的