已知ABC互不相等且不为零。求证ax^2+bx+c.bx^2+cx+a.cx^2+ax+b.不可能同时为完全平方式

假设三者都为完全平方式，
我们知道对于一元二次方程ax^2+bx+c=0
当ax^2+bx+c为完全平方式时，一元二次方程只有一个解，或者说一元二次方程有两个相同的解。而当一元二次方程有两个相同的解得时候，其根的判别式Δ=0
所以，对于ax^2+bx+c.bx^2+cx+a.cx^2+ax+b，如果三者同时是完全平方式，则对于以下面三个一元二次方程：
ax^2+bx+c=0
bx^2+cx+a=0
cx^2+ax+b=0
它们的根的判别式Δ都等于零，即
Δ=b^2-4ac=0
Δ=c^2-4ab=0
Δ=a^2-4bc=0
移项后，
b^2=4ac
c^2=4ab
a^2=4bc
三个式子左对左，右对右相乘得
a^2b^2c^2=4ac*4ab*4bc=64a^2b^2c^2
63a^2b^2c^2=0
a^2b^2c^2=0
abc=0
而题目的条件是ABC互不相等且不为零，即a≠b≠c≠0，就是说abc≠0
所以两者是矛盾的。
所以三者都为完全平方式的假设不成立。
所以ax^2+bx+c.bx^2+cx+a.cx^2+ax+b.不可能同时为完全平方式

如果都是完全平方式，则有以下三式成立：(1)b*b=4ac,(2)c*c=4ac(3)a*a=4b*c.(1)*(2),得到：16a*a=bc,与（3)比较，得a=0，矛盾

难哪