奥林匹克数学经典竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 20:54:34
在1,2两数之间,第一次写上3;第二次在1,3;3,2之间分别写上4,5(如下图),每一次都在已写上的两个相邻数之间,写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了八次,那么,所有数之和是?
1...4...3...5...2

要完整的过程和答案

记第n次所有数之和是F(n)，易知F(1)=1+3+2=6
由题知，添加的数之和是原数之和的2倍-两端的1和2
有F(n+1)=3F(n)-3
即F(n+1)-1.5=3(F(n)-1.5)
即{F(n)-1.5}为等比数列，其中F(1)-1.5=4.5
所以F(n)-1.5=4.5*3^(n-1)
所以F(n=4.5*3^(n-1))+1.5
所以F(8)=9843