x.y∈R，求证│x+y│=│x│+│y│成立的充要条件是xy≥0

充分性
xy≥0等价与x≥0，y≥0或x≤0，y≤0；
x≥0，y≥0时，│x+y│=│x│+│y│
x≤0，y≤0时，│x+y│=|-│x│-│y│|=|x|+|y|

必要性
若│x+y│=│x│+│y│
则x≥0，y≥0或x≤0，y≤0；所以xy≥0。

其实这没啥好证的，就一个分类讨论。。

1,
│x+y│=│x│+│y│
两边平方
x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+2│x│*│y│
xy=│x│*│y│
xy=│x*y│
xy≥0
整个推理过程都是可逆的，所以再反着写一遍就可以了