构建一个函数使它在定义域内满足|f（x）|=|f（-x）|，但他既不是奇函数也不是偶函数

很简单你只要理解奇函数和偶函数的定义就行：
奇函数：f(x)=-f(-x)
偶函数：f(x)=f(-x)
你只要构造一个函数使得这两个等式不能恒成立就行
比如说定义f(x):
当x=1时f(x)=1，
当x不等于1时f(x)=-1,

显然这个函数满足|f（x）|=|f（-x）|，
但它既不是奇函数也不是偶函数
这是因为f(0)=-1,所以f(x)不是奇函数
因为f(-1)不等于f(1),所以不是偶函数

这样的问题很简单，就是构造一个特殊函数呗。比如 这样的特殊的f（x），他在x<=0时的表达式是 x^2(当 x<=0 ），x为正整数时的表达式是 x^2(x为正整数），x为大于零的非整数时的表达式是 -x^2(x>0,且x≠整数）
这个函数显然在实数范围内满足|f（x）|=|f（-x）|，但是这个函数既非奇函数也非偶函数

由|f（x）|=|f（-x）|两边平方得
f²（x）=f²（-x）
整理得
f²（x）-f²（-x）=0
[f（x）+f（-x）]*[f（x）-f（-x）]=0
所以
f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0
即
f（x）=-f（-x）或f（x）=f（-x）
所以f（x）要么是奇函数，要么是偶函数。

楼主说的情况不可能存在。