二次域证明问题

∵ a+b√2=c+d√2 ，
∴ a-c+b√2-d√2=0 ，
∴ (a-c)+(b-d)√2=0 ，
∵ a、b、c、d均为有理数
∴ (a-c)是有理数 ，(b-d)√2是无理数 ，
∴ (a-c)=0 ，(b-d)√2=0 ，(b-d)=0 ，
∴ a=c ，b=d 。

如何严谨证明如果a+b*√2=c+d*√2，那么a=c,b=d，abcd均为有理数 给出虚二次域Q（√--A）类数的可除性结果的一个简洁的新证明，这是A满足方程2∧e+1K∧n-1=Aa∧2，k，n，a∈N，2+kn,k>1,n>1且e=0或1。设he(-A)表示虚二次域Q（√--A）的类数，用初等方法证明了：对任意a均有he(-A)≡0（mod2∧1-en）。 (共5页)

a+b根号2和c+根号2是数域Q(根号2)上的两个元素
Q(根号2)同构于Q*Q(笛卡尔乘积)
所以这两个元素相等等价于a=c,b=d