子供は病気でお母さんを心配させました。

句子成分不同。
子供は病気でお母さんを心配させました。
“病気”后面用で，表示原因。主语是“孩子”。即：
孩子（由于生病）让母亲担心。

子供の病気はお母さんを心配させました。
主语是“病”。即：孩子的病让母亲担心。

で 表示原因

"子供の病気は……" 是错误的写法,因为日语里无生物是不能拿来做主语的.

如中文里:"闹钟把我叫醒了" 就不能翻译成 "目覚まし时计が私を起こした"

而必须翻译成 "私が目覚まし时计で起きました"或者是 "目覚まし时计で起きました"

这里的"孩子生病了"是件事,所以也不能做主语用"は"来提示.

应该说用哪一个都正确。
で表示原因
は表示主语就是子供の病気

The child was sick and it made his/her mother worry.

This "で" is not 原因・理由的"で"。
原因・理由的"で" used like this:
「その子供は病気で死にました」

The form of two sentenses are very similar, but this "で" is 単纯接続.
この场合、
「子供は病気であり、（そのことが）お母さんを心配させました。」
の省略と见た方がいいように思います。
「病気」がお母さんを心配させるのではなく、「自分の子供が病気であること」（つまり接続の前の句全て）がお母さんを心配させるからです。
英语のandでも、用法は単纯接続ですが、前の句が后ろの句の理由・原因になっている事は意味的にすぐ分かりますよね。