在三角形ABC中，∠BAC=60°

证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP

作辅助线
延长AP，AB过C点做AP的垂线，垂足为E，并与AB的延长线交与点点D,连接D.P.
因为，∠BAC=60°，∠ACB=40°所以∠ABC=80°
BQ分别平分∠ABC所以∠QBC=∠BAC=40°
所以BQ=QC 既AQ+BQ=AC
AP平分∠BAC，AE垂直于CD，，∠BAC=60°
所以三角形ABC是等边三角形，AC=AD,，∠BAC=60°=∠ACD=60°=，∠ADC=60°
所以∠BCD=20°
△PDE≌△PCE(SAS)
∠PDC=∠PCD=20°
所以∠BDP=40°
由题中可知∠DBP=100°
所以∠BDP=∠BPD=40°
所以BP=BD 既AB+BP=AB+BD=AD
因为AD=AC
所以 BQ+AQ=AB+BP