证明圆O一定经过三角形ABC的外心

连接CD,BE;做EH垂直AB交AB于H,交圆O于P;

连接DP,并延长交AC于G;

因为:

圆O地半径与三角形ADE的外接圆半径相等; 

所以相等的弦所对的圆周角相等;

角BAC=角ABE;

所以:

AE=BE;

因为

EH垂直AB;

所以EH是AB的垂直平分线;

因为:角ADG=角HEB=角AEH;

所以:角GPE+角AEH=角ADG+角HPD=90度;

所以:DG垂直于AC;

因为角DAC=角DCG;

所以:AD=CD;

所以:DG是AC的垂直平分线,

三角形ABC,的两边的垂直平分线DG,EH相交于圆O上一点P,

所以,圆O一定经过三角形ABC的外心;得证;