怎么证明三角形的重心垂心外心共线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

欧拉线的证明：

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG’ ∽△HAG’。 ∴ 。 ∴ G’是△ABC的重心。 ∴ G与G’重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。

一、问题的提出
我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。并且还知道三角形有5个心：重心，垂心，内心，外心，旁心。及其他们的定理：例如重心， 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心， 三角形的三条高交于一点。那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点？有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢？有没有三角形违背另外四个心的定理呢？这一切将通过下面的探讨与研究和证明，从而解决这些问题。

二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线。
AO交DE于G
∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI=∠ADE
∠AIH=∠AED
∠A=∠A
因此△AHI与△ADE相似 <