如图,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4.P为AB上一点,过P作PE⊥AB分别BC、OA于E

1. 过O做ON⊥AB于N
由题，△ACB为等腰RT△,∠CAB=90°
所以AN=2,AO⊥BC
所以AF:AO=AP:AN=1/2=CE:CO
所以OF=1/2*AO=1/2*2√2=√2
OE=√2
所以S△OEF=1/2*√2*√2=1

2. 类似的，
AF:AO=AP:AN=a/2=CE:CO
所以OF=AO-a/2*AO=(2-a)/2*2√2=(2-a)√2
OE=(2-a)√2
所以S2=S△OEF=1/2*(2-a)√2*(2-a)√2=(2-a)^2
又FP:ON=AP:AN=a/2
所以FP=a/2*2=a
所以S1=S△APF=1/2*a*a=1/2*a^2

(1)因为S1=S2
所以1/2*a^2=(2-a)^2
解得a=4-2√2

(2)S=S1+S2=(2-a)^2+1/2*a^2=3/2*a^2-4a+4=3/2(a^2-8/3a+16/9)-8/3+4=3/2*(a-4/3)^2+4/3
所以S>=4/3>√15/3
因此不存在实数a使得S<√15/3