高一数学，函数单调性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 11:01:18
定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2。判断函数f(x)的单调性，并求当x∈[-3，3]时，函数f(x)的最值。

由题意有f(x+y)-f(x)=f(y)，即对任意x>y∈R，有
f(x)-f(y)=f(x-y)<0
故f(x)单调递减；
且由题意也有f(x)+f(-x)=f(0)=f(0)+f(0)=0
故当x∈[-3，3]时，
f(x)最大值为f(-3)=f(-1-1-1)=3f(-1)=-3f(1)=6
f(x)最小值为f(3)=-6

f(0+0)=f(0)+f(0)得f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0得f(x)奇函数
设x1<x2，f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
所以f(x)是减函数
最小值f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6
最大值f(-6)=-f(6)=6