UC知道数学,求解,高悬赏,要过程.
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 14:42:11
对不起，应该是：一个三角形ABC。AB为10cm，AC为16cm，BC为14cm。M为BC中点，过点M的一条直线与AC或AC延长线交点为P，与AB或AB延长线交点为Q。问何时三角形APQ的周长最小?最小是多少？（写出证明过程）
首先确定，P在AC上，Q在AB延长线上时周长最短，P，Q，A重合的情况不考虑的话
设BQ=x，PC=y
根据梅捏劳斯定理
[(x+10)y]/[x(16-y)]=1
xy+10y=16x-xy
y=8x/(x+5)
所以AP=(8x+80)/(x+5),AQ=10+x
根据余弦定理，cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/2ABAC=1/2
PQ^2=AP^2+AQ^2-2APAQcosA=(8x+80)^2/(x+5)^2+(x+10)^2-[(10+x)(8x+80)/(x+5)]=(x^2+2x+49)(x+10)^2/(x+5)^2
PQ=[(x+10)/(x+5)]根号(x^2+2x+49)
周长=[(8x+80)/x+5]+10+x+[(x+10)/(x+5)]根号(x^2+2x+49)
=[x+13+根号(x^2+2x+49)](x+10)/(x+5)
求导,得
[x+13+根号(x^2+2x+49)](x+10)=[x+13+根号(x^2+2x+49)](x+5)+{1+(2x+2)[根号(x^2+2x+49)]}/(x^2+2x+49)](x+10)(x+5)
5[x+13+根号(x^2+2x+49)]={1+(2x+2)[根号(x^2+2x+49)]}/(x^2+2x+49)](x+10)(x+5)
(5x+65)根号(x^2+2x+49)+5x^2+10x+245=[2x+2+根号(x^2+2x+49)](x^2+15x+50)
(x^2+10x-15)根号(x^2+2x+49)=5x^2+10x+245-(2x+2)(x^2+15x+50)
(x^2+10x-15)根号(x^2+2x+49)=-2x^3-27x^2-120x+145
(x^2+2x+49)(x^4+20x^3+70x^2-300x+225)=(2x^3+27x^2+120x-145)^2
x^6+22x^5+159x^4+820x^3+3055x^2-14250x+11025=4x^6+108x^5+1249