证明f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数

证明：令0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)= log(2)(x2/1-x2)- log(2)(x1/1-x1)
= log(2)[(x/1-x)/ (x1/1-x1)]
=log(2)(x2-x1x2)/(x1-x1x2)
∵0<x1<x2<1
∴x2>x1x2 , x1>x1x2
∴x2-x1x2 >0 , x1-x1x2 >0
且x2-x1x2 > x1-x1x2
∴（x2-x1x2） /（ x1-x1x2）>1
∴f(x2)-f(x1) =log(2)(x2-x1x2)/(x1-x1x2)>0
∴f(x2).>f(x1)
∴f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数

令g(x)=x/(1-x),则g(x)的导数为1/（1-x）²,故g(x)在(0,1)上是增函数
设x1,x2都属于（0，1）且x1>x2,则g(x1)>g(x2),即x1/(1-x1)>x2/(1-x2)
即x1*(1-x2)/((1-x1)*x2)>1
所以f(x1)-f(x2)=log(2)(x1/1-x1)-log(2)(x2/1-x2)
=log(2)(x1*(1-x2)/((1-x1)*x2))>0
故f(x)=log(2)(x/1-x)在(0,1)上是增函数

看来你还没学导数。

那就用定义证明，为了方便，下面证明过程中对数的底数2予以省略。

设0<x1<x2<1

f(x2)-f(x1)=log(x2/(1-x2))-log(x1/(1-x1))
=log{[x2/(1-x2)]/[x1/(1-x1)]}
=log{x2(1-x1)/[x1(1-x2)]}
=log[(x2-x1x2)/(x1-x1x2)]

而(x2-x1x2)/(x1-x1x2)分子分母