高三 三角函数题目请教

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 09:14:12
是否存在角α、β，α∈(-π/2，π/2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π-α)=√2cos(π/2-β)，√3cos（-α）=-√2cos(π+β)同时成立，若存在，求出α、β的值，若不存在说明理由

等式sin(3π-α)=√2cos(π/2-β)，√3cos（-α）=-√2cos(π+β)可化简为
sinα=√2sinβ, √3cosα=√2cosβ
两式两边均平方再相加得sin²α+3cos²α=2sin²β+2cos²β=2
即2cos²α=1，解得α=π/4或-π/4
由β∈(0，π)可知sinβ>0,故sinα>0,所以α=-π/4不合题意
将cosα=√2/2代入√3cosα=√2cosβ得cosβ=√3/2故β=π/6
故α=π/4且β=π/6

等式sin(3π-α)=√2cos(π/2-β)，√3cos（-α）=-√2cos(π+β)可化简为
sinα=√2sinβ, √3cosα=√2cosβ
两式两边均平方再相加得sin²α+3cos²α=2sin²β+2cos²β=2
即2cos²α=1，解得α=π/4或-π/4
由β∈(0，π)可知sinβ>0,故sinα>0,所以α=-π/4不合题意
将cosα=√2/2代入√3cosα=√2cosβ得cosβ=√3/2故β=π/6
故α=π/4且β=π/6 这就是标准答案了，和我做得一样。同样楼上观点！