有左右极限证明极限存在

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 07:12:59
已知（x趋于正无穷）x>X1,极限为A；（x趋于负无穷）x<-X2，极限为A。那么要证明x趋于无穷时极限也为A。新取的一个X应该是X1,X2中的较大者，还是较小者呢？
如果是x趋于X0又如何呢？最好有详细解释。

证明x趋于无穷时极限为A，等价于证明对任意正数eps，存在正数E>0，当|x|>E时，|f(x)-A|<eps.前面有x>X1，|f(x)-A|<eps，x<-X2，|f(x)-A|<eps
故应取E>=max{X1,X2}，此时才能保证|x|>E时有x>X1或x<-X2

x趋于x0时，左极限的情况，有-δ1<x-x0<0时|f(x)-A|<eps；右极限的情况，有0<x-x0<δ2时|f(x)-A|<eps.那应该取δ为小于等于min{δ1,δ2}的正数，则0<|x-x0|<δ时可以推出-δ1<x-x0<δ2，从而|f(x)-A|<eps