如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,CM⊥AB于M,求证DE+DF=CM

作DG垂直于CM于G
显然DE=MG
后面更显然
CD为公共边
显然DEMG为长方形
DE=MG
角CGD=角DFC=90
CD为公共边
CF=BE=DG
所以三角形CDG和三角形DCF全等
所以DF=CG

得证：DE+DF=CM

过C点作CH⊥ED于H,H在ED延长线上,则四边形MEHC为矩形
∴MC=EH, CH‖EM
∴∠DCH=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠ACB=∠DCH
∵DC=DC, ∠CHD=∠CFD=90°
∴△DFC≌△DHC
∴DF=DH
∴DE+DF=DE+DH=EH=CM

连接AD
S△ABD+S△ADF=S△ABC
1/2×DE×AB+1/2×AC×DF=1/2×AB×CM
AB=AC
DE+DF=CM

D在BC边上任一点等式都成立。