100分！两道关于三角形内心的几何题

第一个问题挺简单的,p除到左边式子,成r/p状后,右边为AI/AB*BI/BC*CI/CA之后用正弦定理得sinABI/sinAIB*sinBCI/sinBIC*sinCAI/sinCIA,而AIB为90+1/2*ACB,同时,内心是角平分线的交点,ABI=(1/2)*ABC.等等对于其它角可以列出同样的式子.第一种的90+某某的式子代入用cos转换,第二种1/2某某式子代入后,调整后你会得到sin(1/2)ABC/cos(1/2)ABC*sin(1/2)ACB/cos(1/2)ACB*sin(1/2)BAC/cos(1/2)BAC.即tan(1/2)ABC*tan(1/2)ACB*tan(1/2)BAC的形式,而r/p写成2r/(a+b+c)形式.正切的式子竞赛里有一个关于它的三角衡等式,套入与2r/(a+b+c)整理即可.可能用到了大学里的公式了,整理我也觉得也挺复杂.不过,我又想了想,还是用正切定义了,tan(1/2)ABC =tanIBC=ID/BD,ID=r,BD=p-b,这个您应该知道了吧,之后把三个正切换掉后成,r^3/(p-a)(p-b)(p-c),用三角形面积的海伦公式,整理后等于pr^3/(Sabc)^2,分母为三角形面积S的平方,S=pr,代入之后整理即可.
第二个确实有难度,我仔细想了想,想出这个方法认为有点麻烦了,首先,我不考虑I是内心,设AI与BC的交点为M,AM/AI=(AI+IM)/AI,换成面积形式,为(Sapq+Smpq)/Sapq,分子可以转换成Sapm+Saqm,利用面积的正弦形式可得(Sapq)/(Sabc)=(AP*AQ)/(AB*AC)代入后分母便成了(AP*AQ)/(AB*AC)*Sabc,同理,Sapm/Sabm,Saqm/Sacm也可写出比例关系,分别为AP/AB,AQ/AC,均代入后Sabm/Sabc,Sacm/Sabc的比例也可写出,分别为BM/BC,CM/BC.最后可整理出,AM/AI=(AC/AQ)*(BM/BC)+(AB/AP)*(CM/BC),而BM/BC=AB/(AB+AC),MC/BC=AC/(AB+AC),AM/AI=(AB+AC+BC)/(AB+AC),这其间运用了内角平分线性质及合比,等比定理,我就不说了,将BM/BC,MC/BC,AM/AI代入整理即可得证.
这大概