不等式证明在线等

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 22:24:10
a,b,c∈R+,求证a^a • b^b • c^c ≥(a•b•c)^(a+b+c)/3
求详解

不等式两边取lg 等价于证
alga +blgb +clgc≥(lga+lgb+lgc)(a+b+c)/3
因为不等式中a b c 是对称的 不妨设 a≥b≥c 则lga≥lgb≥lgc
由切比雪夫不等式 知其成立（排序不等式的特例）（也就是由 （a-b)(lga-lgb)≥0 这个事实得来的 展开得 alga+blgb≥algb+blga 同理有 alga+clgc≥algc+clga blgb+clgc≥blgc+clgb 三式相加后再在不等式两端加上lga+lgb+lgc 知原不等式成立

因为y=lgx 单调
所以可以取对数
用x+y+z>=3（xyz)^1/3,易证得