UC知道请教！一道高二数学椭圆与直线的位置关系题目
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 03:53:23
已知椭圆x^2/2+y^2=1
题目：过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点的轨迹方程
这是我网上找的解题思路，就是应用韦达定理解题得那一个步骤是请帮我详细讲解下，我有些不明白，（韦达定理解出来不是关于X1、X2、X、Y、Y1、Y2的吗？怎么又出现二次了，有些糊涂）
解题思路：设直线方程为y=1+k(x-2)
与椭圆方程联立即可求得.
注意韦达定理的运用.(x0=(x1+x2)/2, y0=(y1+y2)/2 )
解得 x^2+2y^2-2x-2y=0(在椭圆内的部分
题目：过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点的轨迹方程
这是我网上找的解题思路，就是应用韦达定理解题得那一个步骤是请帮我详细讲解下，我有些不明白，（韦达定理解出来不是关于X1、X2、X、Y、Y1、Y2的吗？怎么又出现二次了，有些糊涂）
解题思路：设直线方程为y=1+k(x-2)
与椭圆方程联立即可求得.
注意韦达定理的运用.(x0=(x1+x2)/2, y0=(y1+y2)/2 )
解得 x^2+2y^2-2x-2y=0(在椭圆内的部分
过A(2,1)的直线L与椭圆相交AB，L被截得的弦的中点M(x,y)
xA+xB=2x,yA+yB=2y,k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=(y-1)/(x-2)
x^2+2y^2=2
(xA)^2+2(yA)^2=2......(1)
(xB)^2+2(yB)^2=2......(2)
(1)-(2):
(xA+xB)*(xA-xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+2(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
2x+2*2y*(y-1)/(x-2)=0
L被截得的弦的中点轨迹方程椭圆:(x-1)^2/1.5+(y-0.5)^2/0.75=1
解：设直线与椭圆分别交于B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC中点为P(x,y)
则（x1+x2)/2=x,(y1+y2)/2=y……（*）
由于B,C都在椭圆上则有
x1^2/2+y1^2=1……（1）
x2x^2/2+y2^2=1……（2）
（1）-（2）得
（x1+x2)(x1-x2)/2+(y1+y2)(y1-y2)=0
将（*）带入得x(x1-x2)+2y(y1-y2)=0
设直线斜率为k则y1-y2=k(x1-x2)……（3）
将（3）带入得k=-x/2y……（4）
由点斜式的直线方程为y-1=k(x-2)……（5）
联立（4)(5)消去k即得中点轨迹方程：x^2-2x+2y^2-2y=0