UC知道数学 直线与椭圆的题目
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 14:20:29
已知椭圆的焦点是F1（-4，0），F2（4，0），过点F2并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1），C（x2，y2）满足条件|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列（1）求弦AC中点的横坐标，（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围
解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3
故椭圆方程为(x^2/25)+(y^2/9)=1
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得∣F2B∣=∣yB∣=9/5
因为椭圆的右准线方程为x=25/4，率心率为4/5。
根据椭圆意义，有∣F2A∣=4/5(25/4-x1),
∣F2C∣4/5(25/4-x2),
由∣F2A∣、∣F2B∣、∣F2C∣成等差数列，得4/5(25/4-x1)+4/5(25/4-x2)=2×9/5,由此得出x1+x2=8
设弦AC的中点为P(xo,yo)，则xo=(x1+x2)/2=8/2=4
(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，得
9x12+25y12=9×25 ④,
9x22+25y22=9×25 ⑤，
由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0变形即9((x1+x2)/2)(x1-x2)+25((y1+y2)/2)(y1-y2)=0(x1≠x2)
将(x1+x2)/2=xo=4,(y1+y2)/2=yo，代入上式，得36(x1-x2)+25yo(y1-y2)=0，由此得(y1-y2)/(x1-x2)=-36/25yo,又(y1-y2)/(x1-x2)=-(1/k)(k≠0),
∴-(36/25yo)=-(1/k),故k=(25/36)yo(k=0时也成立)
由点P(4，yo)在弦AC的垂直平分线上，得yo=4k+m
所以m=yo-4k=yo-(25/9)yo=-(16/9)yo.
由P(4，yo)在线段BB'(B'与B关于x轴对称，如图)的内部，得-(9/5)＜yo＜9/5，
所以：-(16/5)＜m＜16/5.