直线与椭圆求解

x²/4+y²/3=1
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设AB斜率为k，则其方程为
y=k(x+√3)，即x=y/k-√3，代入椭圆方程得
(y/k-√3)²/4+y²/3=1，整理得
(4k²+3)y²-6√3ky-3k²=0
y1+y2=6√3k/(4k²+3)，y1y2=-3k²/(4k²+3)
把△AOB分成△AOM和△BOM，故
S△AOB=S△AOM+S△BOM=(1/2)MO|y1|+(1/2)MO|y2|
=(1/2)MO|y1-y2|(A，B在x轴两侧)
=(√3/2)√[(y1+y2)²-4y1y2]
=(√3/2)√{[6√3k/(4k²+3)]²-4[-3k²/(4k²+3)]}
=(√3/2)4√3|k|[√(k²+3)]/(4k²+3)
=6|k|[√(k²+3)]/(4k²+3)
设t=k²，则
z={|k|[√(k²+3)]/(4k²+3)}²=[t(t+3)]/(4t+3)²(也可求导求极值)
整理得(16z-1)t²+3(8z-1)t+9z=0
此关于t的方程有正根，则
Δ=[3(8z-1)]²-4(16z-1)(9z)=9(-12z+1)≥0
得z≤1/12，当z=1/12时，t=3/2>0，符合条件。
故S△AOB=6√z≤6√(1/12)=√3
此时k²=3/2，即k=±√6/2。
而k不存在时的S△AOB=3/2<√3，故三角形AOB面积的最大值为√3。

没有

OAB的面积用两个三角形的面积拼起来：设AB与x轴交点为C
S(OAC)=|OC|*|A的纵坐标|/2,S(OBC）=|OC|×|B的纵坐标|/2
||表示绝对值，这样要简单很多。<