急!已知函数的定义域求值及k的范围。
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/07 01:09:27
已知定义域为R的函数f(x)=[(-2)^x+b]÷[2^(x+1)+a]是奇函数。(注意:x是-2的指数,x+1是2的指数)
⑴求a,b的值;
⑵若对任意的t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立,求k的范围。
很急呀!!拜托会的人们帮忙啦!@有过程最好!!!
⑴求a,b的值;
⑵若对任意的t∈R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立,求k的范围。
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(1)用两个特殊值:1.r上的奇函数必过(0,0)
2.f(-1)=-f(1)
可以得到:
由1:(b-1)/(a+2)=0,
也就是b=1,且a不等于-2
由2以及b的值:(1/2)/(a+1)=-(-1)/(a+4)
可以解出来a=2
(2)f(x)=[-(1/2)(2^(x+1)+2)+2]/(2^(x+1)+2)
=-(1/2)+1/(2^x+1)
可以看出来这个函数是R上的减函数
然后我们再看:
f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0
可以化为:f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)
由于是奇函数,所以f(t^2-2t)<f(k-2t^2)
在利用减函数的性质也就是:
t^2-2t>k-2t^2
所以继续解也就是令k<3t^2-2t
由于恒成立也就是k<(3t^2-2t)min,(就是右边那个式子的最小值)
即k小于-1/3
所以k的范围:(负无穷,-1/3)
(1)一小题用两个奇函数的性质就好
f(0)=[(-2)^0+b]÷[2^(0+1)+a]=0
和f(-x)=[(-2)^x+b]÷[2^(x+1)+a]=-f(x)
你可以带入1既f(-1)=-f(1)
简化的3b+2a=-4 (1+b)÷(2+a)=0
既得b=-1,a=-1/2
(2)由于f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立
所以f(2t^2-k)<-f(t^2-2t)
又由于飞(x)是奇函数
所以f(-x)=-f(x)
-f(t^2-2t)=f(2t-t^2)
f(2t^2-k)<f(2t-t^2)
由于奇函数是单调递增的函数