若a,b,c＞0且a²+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是_______.

a2+2ab+4bc+2ac=(a+2b)(a+2c)=12
因为a+2b与a+2c的积为定值,所以(a+2b)+(a+2c)有最小值,
2(a+b+c)=(a+2b)+(a+2c)>= 2√(a+2b)(a+2c) =4√3 (用均值不等式)
即a+b+c有最小值2√3
当a+2b=a+2c时等号成立.

上式可化为（a+b+c)^2-(b-c)^2=12
∵(b-c)^2≥0
∴（a+b+c）^2≤12
a+b+c≥-2倍根号3

a²+2ab+2ac+4bc
=a^2+2ab+b^2+2(a+b)c+c^2-b^2-c^2+2bc
=(a+b+c)^2-(b-c)^2;
(a+b+c)^2-(b-c)^2=12;
(a+b+c)^2=12+(b-c)^2;
因为（b-c)^2>=0;
∴12+(b-c)^2当b=c取最小值；
即（a+b+c)^2的最小值12；
因为：a,b,c＞0；
所以：a+b+c的最小值是2√3