高一数学、指数函数

令a=3^x
x>0,所以a>1
令g(a)=f(x)=a^2-(k-1)a+2>0
即a>1时，g(a)最小值大于0
对称轴a=(k-1)/2
开口向上

若(k-1)/2<=1,k<=3,则定义域在对称轴右边，是增函数
所以g(1)>=0即可
所以1-k+1+2>0,k<=4
所以k<=3

若(k-1)/2>1，k>3
则a=(k-1)/2时g(a)最小
所以g[(k-1)/2]=-(k-1)²/4+2>0
(k-1)²<8
-2√2<k-1<2√2
1-2√2<k<1+2√2
所以3<k<1+2√2

综上
k<1+2√2