有关三角形角平分线的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 12:01:49
已知三角形ABC中 AD是角BAC的平分线
1.求证AB*AC-BD*CD等于AD的平方
2.若角BAC的对边为a 角B的对边为b 角C的对边为c 用a b c 来表示AD

1.在△ABC中，延长AB到E，使BE＝BD，则AE=AB+BD．在AC边上取点F，使CF＝CD，则AF=AC－CD． 连结ED，FD．只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．
在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2；
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2；
∴∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED；
∴△AED∽△ADF，则AE/AD=AD/AF
即 AD²＝AE×AF＝(AB＋BD)(AC－CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD；
又AB/AC=BD/CD===>AC*BD-AB*CD=0. ∴AB*AC-BD*CD=AD²

2.c/b=BD/CD===>(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD===>CD=ab/(b+c);同理:BD=ac/(b+c)
∴AD²=cb-a²bc/(b+c)²===>AD=√{bc[1-a²/(b+c)²]}