找规律 图

图一有1层，底层有1个小方块，共有1个小方块。
图二有2层，底层有1+2个小方块，共有1+2+1个小方块。
图三有3层，底层有1+2+3个小方块，共有1+2+3+(2+1)+1个小方块
图n有n层，底层有1+2+3+4+...+n个小方块，
共有(1+2+3+...n)+[1+2+3+...(n-1)]+[1+2+3+...+(n-2)]+...(3+2+1)+(2+1)+1个小方块。

1+2+3+4+...n=n(n+1)/2 ，这是高中的数列公式，不知道你学过没有。证明的话也简单，把n分为偶数和奇数都列一下式子，就能得出n(n+1)/2 。

下面就可以得出1+2+3+...(n-1)=(n-1)n/2
1+2+3+...(n-2)=(n-2)(n-1)/2
...
所有共有的小方块为：n(n+1)/2+(n-1)n/2+(n-1)(n-2)/2+...3*4/2+2*3/2+1*2/2
化简形式得：1/2[n²+n+(n-1)²+(n-1)+(n-2)²+(n-2)+...3²+3+2²+2+1²+1]
其中n²+(n-1)²+(n-2)²+(n-3)²+...+3²+2²+1²=n(n+1)(2n+1)/6，这个的证明比较麻烦，看你能看懂不
由公式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
1^3+3*1^2+3*1+1=2^3
2^3+3*2^2+3*2+1=3^3
......
n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3
上面的式子全部加和，注意最左边和右边是大部相等的，可以加和时消去很多。得出：
1+3(1^2+2^2......+n^2)+3(1+2+3...+n)+n=(n+1)^3
3A=(n+1)^3-3n(n+1)/2-(n+1) (A=1+4+9......+n^2)
化简得