数学证明题，求解

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/03 18:06:38

已知四边形ABCD为任意四边形，分别以其四边为斜边作等腰直角三角形，如图，求证EG=FH

解：作FM⊥AB，GN⊥BC，HP⊥CD，EQ⊥AD，M、N、P、Q为垂足

故：∠FMB=∠GNB=∠EQA=∠HPD=90°

取AC中点O，连接OM、ON、OP、OQ、OF、OG、OH、OE

根据等腰直角△及中位线定理，可知：

EQ=1/2•AD=OP，HP =1/2•CD=OQ

FM=1/2•AB=ON，GN=1/2•BC=OM

ON‖AB，OM‖BC，OP‖AD，OQ‖CD

故：∠OMB+∠ABC=∠ONB+∠ABC=180°，

∠MON=∠ABC，∠POQ=∠ADC

故：∠OMB=∠ONB

故：∠OMF=∠ONG

故：△OMF≌△GNO

同理：△OPH≌△EQO

故：OF=OG，OE=OH，∠GON=∠FOM，∠EOQ=∠HOP

通过四边形内角和为360°及角的转换可知：∠FOH=∠EOG

故：△EOG≌△HOF

故：EG=FH