一道中值定理的纠结题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 18:03:43
函数f(x)在[0,1]上二阶可微,且f(0)=f(1),|f''(x)|<=1,求证|f'(x)|<=1/2

完全没有思路，有人可以帮帮忙么...

设x.为【0，1】上任意一点
f(0)=f(x。)+f'(x。)(0-x。)+1/2f''(ξ1)(0-x。)^2 (1)
f(1)=f(x。)+f'(x。)(1-x。)+1/2f''(ξ2)(1-x。)^2 (2)
(1)-(2)
f'(x.)=1/2[f''(ξ1)x.^2-f''(ξ2)(1-x。)^2 ]
|f'(x.)|<=1/2[|f''(ξ1)x.^2|+|f''(ξ2)(1-x。)^2 |]
因为|f''(x)<|=1
所以
f'(x.)|<=1/2[x.^2+(1-x.)^2]<=1/2
所以|f'(x)|<=1/2