数学椭圆类题

答：

① S△OAB = S△POA + S△POA

S△OAB = 1/2 * PO * |y1 - y2| /***y1是A点纵坐标，y2是A点纵坐标.

PO显然是√3 。下面来求 |y1 - y2|

② 设直线的斜率是1/k，直线方程则为：y = 1/k (x + √3)，x = ky - √3，代入椭圆方程：

3(ky - √3)² + 4y² = 12
3k²y² - 6√3 ky + 9 + 4y² = 12
(3k² + 4) y² - 6√3 ky -3 = 0

一般性而言，一元二次方程ax² + bx + c =0 两个根的差²=(b² - 4ac)/a²，所以：
(y1 - y2)² = [36*3k² - 4(3k² + 4)(-3)]/[3k² + 4]²
(y1 - y2)² = [108k² + 36k² + 48]/[3k² + 4]²
(y1 - y2)² = (4*36k² + 48)/[3k² + 4]²

设3k² + 4 = p，则：3k² = p - 4, 4*36k²=4*12*3k²=48(p-4)
(y1 - y2)² =[48(p-4) + 48]/p²
(y1 - y2)² = 48(p-3)/p²

(y1 - y2)²最大值是4，p=6
3k² = 6 - 4
k² = 2/3
k= + -√6/3

③综上：
面积最大值是1/2 √3 √4 = √3
直线L的方程是：
y =+ - 1/(√6/3)(x +√3)