UC知道泰勒级数的展开问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 07:57:04
我只知道f(x)在x0处展开
今天在参考书上看见个f(0)在x处展开的
原题如下：
设f(x)在[0,a]二次可导且f(0)=0,f"(x)<0.求证f(x)/x在(0,a]单调下降
解:
0=f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f"(c)(0-x)^2 (0<c<a)
f"(c)<0 ==> f(x)-xf'(x)>0,即xf'(x)-f(x)<0
[f(x)/x]'=[xf'(x)-f(x)]/(x^2)<0,证毕
请问泰勒公式为什么可以这么用啊？
今天在参考书上看见个f(0)在x处展开的
原题如下：
设f(x)在[0,a]二次可导且f(0)=0,f"(x)<0.求证f(x)/x在(0,a]单调下降
解:
0=f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f"(c)(0-x)^2 (0<c<a)
f"(c)<0 ==> f(x)-xf'(x)>0,即xf'(x)-f(x)<0
[f(x)/x]'=[xf'(x)-f(x)]/(x^2)<0,证毕
请问泰勒公式为什么可以这么用啊？
只要函数f(x)在点x处有高阶导数,比如这里的二阶
那么就可以在这点展开
f(y)=f(x)+f'(x)(y-x)+0.5f''(x+t(y-x))(y-x)^2
其中t是介于0,1之间的数,那么x+t(y-x)是介于x,y之间的数
让y=0即可知道把函数在0点的值用在x点展开的式子表示
只要存在高阶导数就可以展开,楼主找找数学书应该会看到的,0点只是特例
这个证明的确有问题。 f(0)在x处展开是可以的。只是把展开式的符号调换而已。但是把无限多项式缩减则不可。