高数有理函数积分题

(x^5+x^4-8)\(x^3-x)
=(x^5-x^3+x^3-x+x^4-x^2+x^2+x-8)\x(x+1)(x-1)
=x^2+x+1+(x^2+x-8)\x(x-1)(x+1)
设(x^2+x-8)\x(x-1)(x+1)=a\x+b\(x-1)+c\(x+1)
a+b+c=1 -a=-8 b-c=1
a=8 b=-3 c=-4
∴∫(x^5+x^4-8)/(x^3-x)dx
=x^3\3+x^2\2+x+8In|x|-3In|x-1|-4In|x+1|+C

用待定系数法把原式拆开就行了

∫(x^5+x^4-8)/(x^3-x)dx
=∫(x^8+x^7-x^6-x^5-8x^3+8x)dx
=∫(x^8)dx+∫(x^7)dx-∫(x^6)dx-∫(x^5)dx-8∫(x^3)dx+8∫(x)dx
=1/9 x^9+1/8 x^8-1/7x^7-1/6 x^6-2x^4+4x^2+C

铡熷纺=搂[xx+x+1+8/x-4/(x+1)-3/(x-1)]dx=xxx/3+xx/2+x+8lnx-4ln(x+1)-3ln(x-1)+c

∫(x^5+x^4-8)/(x^3-x)dx
=∫[x²+x+1+8/x-3/(x-1)-4/(x+1)]dx
=(1/3)x³+(1/2)x²+x+8ln|x|-3ln|x-1|-4ln|x+1|+C

待定过程：
(x^5+x^4-8)/(x^3-x)=(x^5+x^4-8)/x(x-1)(x+1)

令(x^5+x^4-8)/x(x-1)(x+1)
=x²+Ax+B+C/x+D/(x-1)+E/(x+1)

比较系数得：
A=1，B=1， C=8， D=-3， E=-4